Ebook AP Calculus AB & BC | Trọn Bộ Đạt 5 - Times Edu
+84 36 907 6996Floor 72, Landmark 81 · HCMC
Thư việnHọc online
Times Edu Press
Advanced Placement
AP Calculus
AB / BC
Practice & Solutions
Limits & Continuity Differentiation Integration Infinite Series (BC) Parametric & Polar (BC) FRQ Strategies Song ngữ Anh–Việt
80+Công thức
40+Worked problems
AB + BCĐầy đủ cả hai
00
Overview
Giới thiệu AP Calculus
AP Calculus ABAP Calculus BC
EquivalentCalculus I (1 semester)Calculus I + II (2 semesters)
Section I45 MCQ · 1h45m · 50%45 MCQ · 1h45m · 50%
Section II6 FRQ · 1h30m · 50%6 FRQ · 1h30m · 50%
CalculatorPart A: no calc · Part B: allowedSame as AB
BC-only—Series, parametric, polar, advanced integration, logistic, Euler's method
★
Mẹo đạt điểm 5
  • Thuộc công thức đạo hàm và tích phân như bảng cửu chương
  • FRQ: Viết MỌI bước — đừng nhảy bước! Từng dòng = marks
  • Calculator section: Dùng graph, NDERIV, FNINT thành thạo
  • Units: Luôn kèm đơn vị nếu bài có context (m/s, cm²…)
  • BC students: Học kỹ convergence tests và Taylor series
01
Unit 1
Limits & Continuity
∞
Unit 1 · Limits & Continuity
Limit Laws · Techniques · IVT
lim · L'Hôpital · Continuity conditions · Special limits
ABBC
1.1 · Limit Laws
Limit Laws
lim [f±g] = lim f ± lim g
lim [f·g] = lim f · lim g
lim [f/g] = lim f / lim g   (nếu lim g ≠ 0)
Kỹ thuật tính limit
Techniques
Direct substitution: Thay x = a. Nếu ra số → đó là limit
Factoring (0/0): Phân tích, rút gọn. (x²−1)/(x−1) = x+1
Rationalising: 0/0 với căn → nhân liên hợp (√x−2)/(x−4)
L'Hôpital (0/0 hoặc ∞/∞): lim f/g = lim f'/g'. Chỉ dùng khi dạng vô định!
Special Limits
lim sin(x)/x = 1
(x→0)
lim (1−cosx)/x = 0
(x→0)
lim high/low = ∞
(x→∞)
lim low/high = 0
(x→∞)
lim same deg → coeff ratio
(x→∞)
lim eˣ/xⁿ = ∞
(x→∞)
1.2 · Continuity & IVT
f liên tục tại x = a khi và chỉ khi
(1) f(a) xác định
(2) lim[x→a] f(x) tồn tại
(3) lim[x→a] f(x) = f(a)
IVT: f liên tục [a,b] và N nằm giữa f(a), f(b) → ∃c ∈ (a,b): f(c) = N
Practice — Unit 1
AB / BCFactoring
Q1

Tìm lim[x→2] (x² − 4) / (x − 2)

✓ Solution
Phân tích tử số:
(x²−4)/(x−2) = (x−2)(x+2)/(x−2) = x+2

Thay x = 2:  2 + 2 = 4

∴ Đáp án: 4
AB / BCRational
Q2

Tìm lim[x→∞] (3x² + 5) / (2x² − 1)

✓ Solution
Cùng bậc (x²/x²) → tỉ số hệ số đầu

= 3/2

∴ Đáp án: 3/2
AB / BCSpecial limit
Q3

Tìm lim[x→0] sin(3x) / (5x)

✓ Solution
Viết lại: (3/5) × [sin(3x) / (3x)]

Khi x→0:  sin(3x)/(3x) → 1

= 3/5 × 1 = 3/5

∴ Đáp án: 3/5
AB / BCL'Hôpital
Q4

Tìm lim[x→0] (eˣ − 1) / x   [dùng L'Hôpital]

✓ Solution
Dạng 0/0 → L'Hôpital:

lim (eˣ − 1)/x = lim eˣ/1 = e⁰ = 1

∴ Đáp án: 1
02
Unit 2
Differentiation
∂
Unit 2 · Differentiation
Rules · Applications · MVT
Power · Chain · Product · Quotient · Implicit · Related rates
ABBC
2.1 · Basic Differentiation Rules
Core Rules
d/dx [xⁿ] = nxⁿ⁻¹
d/dx [c] = 0
d/dx [cf(x)] = c·f'(x)
d/dx [f ± g] = f' ± g'
Product: d/dx [fg] = f'g + fg'
Quotient: d/dx [f/g] = (f'g − fg') / g²
Chain: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
2.2 · Trig & Special Derivatives
f(x)f'(x)f(x)f'(x)
sin xcos xcos x−sin x
tan xsec²xcot x−csc²x
sec xsec x tan xcsc x−csc x cot x
eˣeˣaˣaˣ ln a
ln x1/xlogₐ x1/(x ln a)
arcsin x1/√(1−x²)arccos x−1/√(1−x²)
arctan x1/(1+x²)arccot x−1/(1+x²)
2.3 · Applications of Derivatives
Key Theorems & Applications
Critical points: f'(x) = 0 hoặc DNE → ứng viên cho max/min
1st Deriv Test: f' đổi + → −: local max · f' đổi − → +: local min
2nd Deriv Test: f'(c)=0: f''>0 → min · f''<0 → max · f''=0 → inconclusive
Inflection: f''(x) đổi dấu. Concave up (f''>0) ↔ Concave down (f''<0)
MVT: f liên tục [a,b], khả vi (a,b) → ∃c: f'(c) = [f(b)−f(a)]/(b−a)
Linear approx: L(x) = f(a) + f'(a)(x−a)
Practice — Unit 2
AB / BCProduct + Chain
Q5

Tìm dy/dx của y = x³ sin(2x)

✓ Solution
Product rule:  y' = (x³)' · sin(2x) + x³ · [sin(2x)]'

(x³)' = 3x²
[sin(2x)]' = cos(2x) · 2  (chain rule)

y' = 3x² sin(2x) + 2x³ cos(2x)
AB / BCChain rule
Q6

Tìm dy/dx của y = ln(x² + 1)

✓ Solution
Chain rule: d/dx [ln u] = u'/u

y' = [d/dx (x²+1)] / (x²+1)
   = 2x / (x²+1)
AB / BCImplicit diff
Q7

Tìm dy/dx (implicit): x² + y² = 25

✓ Solution
Đạo hàm cả 2 vế theo x:

2x + 2y · (dy/dx) = 0

2y · (dy/dx) = −2x

dy/dx = −x/y
AB / BCOptimization
Q8

Tìm critical points và local extrema của f(x) = x³ − 3x + 2

✓ Solution
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1) = 0
→ x = ±1

f''(x) = 6x

f''(1)  =  6 > 0  →  local min tại x = 1,  f(1) = 0
f''(−1) = −6 < 0  →  local max tại x = −1, f(−1) = 4
AB / BCRelated rates
Q9

Hình tròn có r tăng 2 cm/s. Tìm dA/dt khi r = 5.

✓ Solution
A = πr²
dA/dt = 2πr · dr/dt

Thay r = 5,  dr/dt = 2:
dA/dt = 2π(5)(2) = 20π cm²/s
AB / BCLinearisation
Q10

Dùng linearisation của f(x) = √x tại a = 25 để xấp xỉ √26.

✓ Solution
f(25) = 5
f'(x) = 1/(2√x)  →  f'(25) = 1/10 = 0.1

L(x) = f(a) + f'(a)(x − a)
L(26) = 5 + 0.1(26 − 25) = 5 + 0.1 = 5.1

(Giá trị thực: √26 ≈ 5.0990)
03
Unit 3
Integration
∫
Unit 3 · Integration
FTC · Techniques · Applications
u-sub · IBP (BC) · Area · Volume · Diff Equations
ABBC
3.1 · Standard Integrals
Basic Integral Forms
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C
∫ sin x dx = −cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sec²x dx = tan x + C
∫ csc²x dx = −cot x + C
∫ sec x tan x dx = sec x + C
∫ csc x cot x dx = −csc x + C
∫ 1/(1+x²) dx = arctan x + C
∫ 1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
3.2 · FTC & Applications
Fundamental Theorem of Calculus
FTC 1: ∫[a→b] f(x)dx = F(b) − F(a) where F' = f
FTC 2: d/dx [∫[a→x] f(t)dt] = f(x)
FTC 2 (Chain): d/dx [∫[a→g(x)] f(t)dt] = f(g(x)) · g'(x)
Average value: 1/(b−a) · ∫[a→b] f(x)dx
Area & Volume
Area between curves: ∫[a→b] |f(x)−g(x)| dx
Disk: V = π∫[a→b] [R(x)]² dx
Washer: V = π∫[a→b] [R(x)²−r(x)²] dx
Shell (BC): V = 2π∫[a→b] x · f(x) dx
Arc length (BC): L = ∫[a→b] √(1 + [f'(x)]²) dx
Differential Equations
Separable: dy/dx = g(x)h(y) → ∫ 1/h(y) dy = ∫ g(x) dx
Euler's method (BC): y_new = y_old + (dy/dx) · Δx
Logistic (BC): dP/dt = kP(L−P) · Solution: P = L/(1+Ce^(−kLt))
Carrying capacity = L · Max growth at P = L/2
Integration by Parts — BC focus / AB basic
IBP + LIATE Rule
∫ u dv = uv − ∫ v du
LIATE priority for u: Log · Inverse trig · Algebraic · Trig · Exponential
Practice — Unit 3
AB / BCBasic integral
Q11

∫ (3x² + 2x − 1) dx

✓ Solution
= x³ + x² − x + C
AB / BCu-substitution
Q12

∫ 2x cos(x²) dx

✓ Solution
u = x²,  du = 2x dx

= ∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C
AB / BCDefinite integral
Q13

∫[0→π] sin x dx

✓ Solution
= [−cos x]₀ᴾ
= −cos π − (−cos 0)
= −(−1) + 1 = 2
AB / BCArea between curves
Q14

Tìm diện tích giữa y = x² và y = x từ x = 0 đến x = 1.

✓ Solution
Trên [0,1]: x ≥ x², nên top = x, bottom = x²

A = ∫₀¹ (x − x²) dx
  = [x²/2 − x³/3]₀¹
  = 1/2 − 1/3 = 1/6
AB / BCDisk method
Q15

Thể tích quay y = √x quanh Ox, x ∈ [0, 4]. (Disk method)

✓ Solution
V = π ∫₀⁴ (√x)² dx
  = π ∫₀⁴ x dx
  = π [x²/2]₀⁴
  = π(8) = 8π
AB / BCDiff equation
Q16

Giải: dy/dx = 2xy, y(0) = 3

✓ Solution
Separable: dy/y = 2x dx

∫ dy/y = ∫ 2x dx
ln|y| = x² + C
y = Ae^(x²)

Apply y(0) = 3:  A = 3

∴ y = 3e^(x²)
AB / BCFTC2 chain
Q17

d/dx [∫₀^(x²) sin(t) dt]

✓ Solution
FTC2 + Chain rule:  f(g(x)) · g'(x)

= sin(x²) · d/dx(x²)
= sin(x²) · 2x
= 2x sin(x²)
BCIBP
Q18 (BC)

Integration by parts: ∫ x eˣ dx

✓ Solution
LIATE: u = x (Algebraic),  dv = eˣ dx (Exponential)
du = dx,  v = eˣ

∫ x eˣ dx = xeˣ − ∫ eˣ dx
           = xeˣ − eˣ + C
           = eˣ(x − 1) + C
04
Unit 4 · BC Only
Infinite Series
∑
Unit 4 · BC Only
Convergence Tests · Taylor & Maclaurin
9 convergence tests · Lagrange error · Radius of convergence
BC only
4.1 · Key Series Types
Essential Series
Geometric: ∑ arⁿ = a/(1−r) if |r| < 1 · Diverges if |r| ≥ 1
p-series: ∑ 1/nᵖ · Converges if p > 1 · Diverges if p ≤ 1
Harmonic: ∑ 1/n — DIVERGES (p-series with p = 1)
4.2 · Convergence Tests
TestConditionUse when
nth-Term (Div)lim aₙ ≠ 0 → divergesQuick check. Cannot prove convergence.
GeometricSum = a/(1−r) if |r| < 1Series is arⁿ form
p-SeriesConv if p > 1; div if p ≤ 1Series is 1/nᵖ form
Integral TestConv if ∫₁∞ f(x)dx convergesf positive, decreasing, continuous
Direct Comparisonaₙ ≤ bₙ (conv) · aₙ ≥ bₙ (div)Compare with known series
Limit Comparisonlim aₙ/bₙ = L (0 < L < ∞)Both behave same way
Ratio Testlim |aₙ₊₁/aₙ| < 1: conv · >1: divFactorials, exponentials, n!
Root Testlim |aₙ|^(1/n) < 1: convnth power expressions
Alternating Seriesaₙ decreasing → 0: conv∑(−1)ⁿ aₙ form
→
Convergence Test Strategy
  • Step 1: nth-term test trước — nếu lim aₙ ≠ 0, diverges ngay
  • Step 2: Nhận dạng Geometric/p-series?
  • Step 3: Có n! hoặc aⁿ → Ratio Test
  • Step 4: So sánh được với 1/nᵖ hoặc geometric → Comparison
  • Step 5: Có (−1)ⁿ → Alternating Series Test
4.3 · Taylor & Maclaurin Series
Taylor & Maclaurin Formulas
Taylor: f(x) = ∑ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x−a)ⁿ (n = 0, 1, 2, …)
Maclaurin = Taylor at a = 0
Lagrange error: |Rₙ(x)| ≤ |f⁽ⁿ⁺¹⁾(z)| · |x−a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
Alt series error: |error| ≤ |first omitted term|

Phải thuộc 5 series dưới đây — xuất hiện thường xuyên trong cả MCQ và FRQ.

eˣ
= 1 + x + x²/2! + x³/3! + … = ∑ xⁿ/n!
R = ∞ (converges for all x)
sin x
= x − x³/3! + x⁵/5! − … = ∑ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!
R = ∞
cos x
= 1 − x²/2! + x⁴/4! − … = ∑ (−1)ⁿ x²ⁿ/(2n)!
R = ∞
1/(1−x)
= 1 + x + x² + x³ + … = ∑ xⁿ
|x| < 1 (R = 1)
ln(1+x)
= x − x²/2 + x³/3 − … = ∑ (−1)ⁿ⁺¹ xⁿ/n
−1 < x ≤ 1 (R = 1)
Practice — Unit 4 (BC)
BCGeometric series
Q19

Determine convergence: ∑ 3/5ⁿ  (n = 0 to ∞)

✓ Solution
Geometric series: a = 3/5,  r = 1/5
|r| = 1/5 < 1  →  CONVERGES

Sum = a/(1−r) = (3/5)/(1−1/5) = (3/5)/(4/5) = 3/4
BCnth-term test
Q20

Determine convergence: ∑ n/(n+1)  (n = 1 to ∞)

✓ Solution
nth-term test:
lim[n→∞] n/(n+1) = 1 ≠ 0

∴ DIVERGES  (necessary condition for convergence fails)
BCRatio test
Q21

Ratio test: ∑ n! / 3ⁿ

✓ Solution
L = lim |aₙ₊₁/aₙ|
  = lim |(n+1)!/3ⁿ⁺¹ × 3ⁿ/(n!)|
  = lim (n+1)/3
  = ∞ > 1

∴ DIVERGES
BCTaylor polynomial
Q22

Tìm Taylor polynomial bậc 3 của f(x) = eˣ tại a = 0.

✓ Solution
f(x) = eˣ  →  f⁽ⁿ⁾(0) = 1 for all n

P₃(x) = f(0)/0! + f'(0)/1! · x + f''(0)/2! · x² + f'''(0)/3! · x³
       = 1 + x + x²/2 + x³/6
BCMaclaurin approx
Q23

Xấp xỉ sin(0.1) dùng Maclaurin đến bậc 3.

✓ Solution
sin x ≈ x − x³/6  (Maclaurin bậc 3)

sin(0.1) ≈ 0.1 − (0.1)³/6
         = 0.1 − 0.001/6
         = 0.1 − 0.000167
         = 0.099833

(Giá trị thực: 0.0998334…)
05
Unit 5 · BC Only
Parametric, Polar & Vectors
θ
Unit 5 · BC Only
Parametric · Polar · Vector functions
dy/dx · arc length · polar area · speed · displacement
BC only
5.1 · Parametric Equations
Parametric — x(t), y(t)
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
d²y/dx² = [d/dt(dy/dx)] / (dx/dt)
Arc length: L = ∫[a→b] √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt
Speed = √[(dx/dt)² + (dy/dt)²]
5.2 · Polar Equations
Polar — r(θ)
x = r cosθ
y = r sinθ
r² = x² + y²
dy/dx = (dr/dθ · sinθ + r cosθ) / (dr/dθ · cosθ − r sinθ)
Polar area: A = ½ ∫[α→β] r² dθ
5.3 · Vector-valued Functions
Vectors r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩
v(t) = ⟨x'(t), y'(t)⟩
a(t) = ⟨x''(t), y''(t)⟩
Speed = |v(t)| = √[(x')² + (y')²]
Distance = ∫[a→b] |v(t)| dt = ∫ √[(x')² + (y')²] dt
Displacement = ⟨∫ x'(t)dt, ∫ y'(t)dt⟩
Practice — Unit 5 (BC)
BCParametric slopes
Q24

x = t², y = t³. Tìm dy/dx và d²y/dx².

✓ Solution
dx/dt = 2t,  dy/dt = 3t²

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2

d²y/dx² = [d/dt(dy/dx)] / (dx/dt)
         = [d/dt(3t/2)] / (2t)
         = (3/2) / (2t)
         = 3/(4t)
BCPolar area
Q25

Tìm diện tích vùng bên trong r = 2cosθ.

✓ Solution
A = ½ ∫[0→π] (2cosθ)² dθ
  = ½ ∫[0→π] 4cos²θ dθ
  = 2 ∫[0→π] (1 + cos2θ)/2 dθ
  = ∫[0→π] (1 + cos2θ) dθ / ... 
  = [θ + sin2θ/2]₀ᴾ
  = π + 0 − 0 = π
APP
Phụ lục
Formula Sheet
Derivatives
f(x)f'(x)
xⁿnxⁿ⁻¹
sin xcos x
cos x−sin x
tan xsec²x
eˣeˣ
aˣaˣ ln a
ln x1/x
arcsin x1/√(1−x²)
arctan x1/(1+x²)
f(g(x))f'(g) · g'
fgf'g + fg'
f/g(f'g − fg') / g²
Integrals
IntegralResult
∫ xⁿ dxxⁿ⁺¹/(n+1) + C
∫ 1/x dxln|x| + C
∫ eˣ dxeˣ + C
∫ sin x dx−cos x + C
∫ cos x dxsin x + C
∫ sec²x dxtan x + C
∫ 1/(1+x²) dxarctan x + C
∫ 1/√(1−x²) dxarcsin x + C
∫ u dvuv − ∫ v du
Applications
FormulaApplication
Area = ∫|f−g| dxBetween two curves
V = π∫R² dxDisk method (solid of revolution)
V = π∫(R²−r²) dxWasher method
V = 2π∫x·f(x) dxShell method (BC)
L = ∫√(1+f'²) dxArc length (BC)
Avg = 1/(b−a)·∫f dxAverage value of f on [a,b]
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)Parametric slope (BC)
A = ½∫r² dθPolar area (BC)
Taylor Series — MUST KNOW
5 Essential Maclaurin Series
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … (R = ∞)
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − … (R = ∞)
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − … (R = ∞)
1/(1−x) = 1 + x + x² + x³ + … (|x| < 1)
ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − … (−1 < x ≤ 1)
FRQ
Exam Strategy
FRQ Scoring Tips
★
FRQ đạt điểm tối đa
  • Từng bước đầy đủ: Công thức → thay số → kết quả. Không nhảy bước — mỗi dòng = marks
  • Calculator section: Viết biểu thức đầy đủ trước, rồi mới viết kết quả số
  • Units: Nếu bài có context (m/s, cm², giây…) → luôn viết đơn vị
  • Justify: Nếu bài hỏi "justify", phải viết lý do — "f' changes sign from + to −"
  • Graph: Label rõ trục, điểm intercept, asymptote, điểm quan trọng
  • AB vs BC: AB students bỏ qua các phần ghi (BC only). BC students làm hết
!
Common FRQ mistakes
  • Quên + C trong indefinite integrals
  • Không verify initial condition trong differential equations
  • Nhầm direction khi tìm area (top − bottom, không phải bottom − top)
  • Dùng Disk khi nên dùng Washer (quên trừ r)
  • Quên nhân g'(x) trong FTC2 với chain rule
  • nth-term test: chỉ dùng để DIVERGE, không chứng minh convergence
TIMES EDU PRESS
times.edu.vn  ·  © 2026 Times Edu  ·  All rights reserved
AP Calculus AB / BC · Practice & Solutions · Song ngữ Anh–Việt
↑
Zalo